데이터 분석 입문 선형대수 · LA05 코사인 유사도

가장 가까운 사람이 취향도 같을까?

좌표평면에 화살표로 그려 보면 보여요

개념데이터 한 줄 = 화살표

영화 두 편에 준 평점을 (영화1, 영화2) 좌표로 찍으면, 원점에서 그 점까지의 화살표가 돼요. 이게 벡터예요.

A=(2, 1)B=(1, 2)θ

두 화살표 사이 각 $\theta$ 가 작을수록 방향, 곧 취향이 비슷해요.

\cos\theta=\frac{A\cdot B}{|A|\,|B|}

1이면 완전히 같은 방향, 0이면 직각(관계없음)

문제오늘의 한 문제

세 사람이 영화 2편에 준 평점이에요.

ABCA=(2,1) B=(1,2) C=(4,2)

$A$ 와 (가) 코사인 유사도가 가장 큰 사람, (나) 거리가 가장 가까운 사람은?

풀이각도와 거리를 따로 본다

ABC√2√5

1 $C=2A$ : 같은 직선 위, 각도 0 → $\cos=1$
2 $A\cdot B=2\times1+1\times2=4$ , $|A|=|B|=\sqrt{5}$ → $\cos=\frac{4}{5}$
3거리: $A$ – $B$ $=\sqrt{2}\approx1.4$ , $A$ – $C$ $=\sqrt{5}\approx2.2$

정답 ③ (가) C (나) B

개념 다시길이를 1로 맞추면?

화살표를 모두 길이 1로 줄이면(원 위로 옮기면) $A$ 와 $C$ 는 같은 점이 돼요.

A, CB

언제 무엇을?

취향·패턴 비교는 코사인 (추천, 문서 검색), 실제 크기 차이는 거리 (구매 금액, 센서 값)

from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 그림으로 감을 잡았어요. 여기서는 계산을 끝까지 하고, 데이터 분석에서 언제 무엇을 쓰는지 정리합니다.

두 가지 '가깝다'

기준	식	보는 것
거리	\|A-B\|	점과 점 사이의 길이 (크기까지 비교)
코사인 유사도	A·B / (\|A\|\|B\|)	화살표 사이의 각도 (방향만 비교)

같은 데이터라도 무엇을 '비슷하다'고 볼지에 따라 답이 달라져요. 오늘 문제는 그 차이를 보여 주려고 만든 문제예요.

계산 끝까지

1길이: $|A|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$ , $|B|=\sqrt5$ , $|C|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5$
2 $A$ 와 $B$ : $A\cdot B=2\times1+1\times2=4$ , $\cos=\frac{4}{\sqrt5\cdot\sqrt5}=\frac45=0.8$
3 $A$ 와 $C$ : $A\cdot C=2\times4+1\times2=10$ , $\cos=\frac{10}{\sqrt5\cdot2\sqrt5}=1$
4거리: $|A-B|=|(1,-1)|=\sqrt2\approx1.41$ , $|A-C|=|(-2,-1)|=\sqrt5\approx2.24$
5그래서 (가) 코사인은 $C$ , (나) 거리는 $B$ . 정답은 ③

왜 답이 갈릴까

$C=(4,2)=2A$ 예요. 방향은 똑같고 길이만 두 배예요. C는 A와 취향의 비율(영화1을 2배 더 좋아함)이 같지만, 평점을 전체적으로 후하게 주는 사람이에요.

코사인을 쓸 때

취향·패턴 비교. 추천 시스템(평점을 짜게 주는 사람과 후하게 주는 사람을 같은 기준으로 비교), 문서 검색(긴 글과 짧은 글을 공정하게 비교)

거리를 쓸 때

실제 크기 자체가 중요할 때. 구매 금액, 센서 값, 위치 좌표

파이썬으로 확인

import numpy as np

A, B, C = np.array([2, 1]), np.array([1, 2]), np.array([4, 2])
cos = lambda u, v: u @ v / (np.linalg.norm(u) * np.linalg.norm(v))

print(cos(A, B), cos(A, C))                          # 0.8 1.0
print(np.linalg.norm(A - B), np.linalg.norm(A - C))  # 1.414 2.236

확인 문제

$A=(2,1)$ 과 코사인 유사도가 더 큰 쪽은 $B=(1,2)$ , $E=(3,3)$ 중 어느 것일까요? 거리가 더 가까운 쪽은요?

정답 보기

1 $\cos(A,E)=\frac{6+3}{\sqrt5\cdot3\sqrt2}=\frac{3}{\sqrt{10}}\approx0.95$ 로 $B$ 의 $0.8$ 보다 커요 → 코사인은 $E$
2거리: $|A-E|=\sqrt5\approx2.24$ , $|A-B|=\sqrt2\approx1.41$ → 거리는 $B$

영상으로 다시 보기

같은 문제가 유튜브 쇼츠와 인스타그램에도 올라가요. 영상은 짧게, 웹은 자세하게.

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