수능 수학 · 수학Ⅱ 미분 [3점]

연속이면 미분가능할까?

조건 하나를 빼먹으면 답이 안 나와요

개념미분가능성의 두 조건

구간마다 식이 다른 함수가 경계 $x=a$ 에서 미분가능하려면 두 가지가 모두 필요해요.

① 연속

끊기지 않아야 해요.

\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)

② 미분계수 일치

꺾이지 않아야 해요. 왼쪽 기울기와 오른쪽 기울기가 같아야 해요.

\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

문제오늘의 한 문제

함수

f(x)=\begin{cases} x^3+ax & (x<1) \\ bx^2+1 & (x\geq 1) \end{cases}

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 두 상수 $a$ , $b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값은? [3점]

힌트 보기

상수가 2개( $a$ , $b$ )니까 식도 2개가 필요해요. 경계 $x=1$ 에서 쓸 수 있는 조건은 무엇일까요?

풀이조건 두 개 → 식 두 개

1연속: $x=1$ 에서 양쪽 값이 같아야 해요. $1+a=b+1$ 이므로 $a=b$
2미분계수: 왼쪽 $f'(x)=3x^2+a$ , 오른쪽 $f'(x)=2bx$ . $x=1$ 을 넣으면 $3+a=2b$
3연립: $a=b$ 를 넣으면 $3+a=2a$ , 따라서 $a=3$ , $b=3$

a+b=6

정답 ③ 6

개념 다시오늘 쓴 개념, 한 번 더

구한 함수를 그리면 $x=1$ 에서 이어지고(값 4), 꺾이지 않아요(기울기 6).

x³+3x3x²+1기울기 6(1, 4)

함정

연속만 쓰면 $a=b$ 까지만 나와요. 식이 하나 모자라요.

기억할 것

미분가능 → 연속은 참, 연속 → 미분가능은 거짓 ( $y=|x|$ 는 꺾여 있어요)

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 식 두 개만 세웠어요. 여기서는 왜 그 두 식인지, 어디서 실수하기 쉬운지까지 단계별로 봅니다.

왜 조건이 두 개일까

미분가능하면 반드시 연속이에요. 그래서 '미분가능'이라는 말 하나에 조건 두 개가 숨어 있어요.

f\text{가 }x=a\text{에서 미분가능} \;\Longrightarrow\; f\text{가 }x=a\text{에서 연속}

구간마다 식이 다른 함수는 각 구간 안에서는 다항함수라 문제가 없어요. 확인할 곳은 경계 $x=1$ 하나뿐이고, 거기서 ① 값이 이어지는지 ② 기울기가 같은지를 봐요.

단계별 풀이

1① 연속: 왼쪽 극한 $\lim_{x\to1^-}(x^3+ax)=1+a$ , 함숫값 $f(1)=b+1$ . 두 값이 같아야 하므로 $1+a=b+1$ , 곧 $a=b$
2② 미분계수: 연속이 확인되면 각 식을 미분해 경계값을 비교해도 돼요. 왼쪽 $(x^3+ax)'=3x^2+a$ 에서 $3+a$ , 오른쪽 $(bx^2+1)'=2bx$ 에서 $2b$
3③ 연립: $3+a=2b$ 에 $a=b$ 를 넣으면 $3+a=2a$ , 따라서 $a=3,\ b=3$
4④ 답: $a+b=6$ , 정답은 ③

검산

$x=1$ 에서 왼쪽 값 $1+3=4$ , 오른쪽 값 $3+1=4$ 로 이어지고, 기울기도 $3+3=6$ , $2\times3=6$ 으로 같아요.

자주 하는 실수

연속만 쓰기

$a=b$ 에서 멈추면 $a+b$ 가 정해지지 않아요. 미지수가 2개면 식도 2개가 필요해요.

상수항 빠뜨리기

$f(1)=b+1$ 의 $+1$ 을 빠뜨려 $1+a=b$ 로 쓰면 $a=1,\ b=2$ 가 나와 선택지에 없는 3이 돼요.

순서 바꾸기

연속을 확인하지 않고 도함수 값만 맞추면 안 돼요. 끊긴 함수도 양쪽 기울기는 같을 수 있어요.

확인 문제

함수

g(x)=\begin{cases} x^3+ax^2 & (x<1) \\ bx+2 & (x\geq 1) \end{cases}

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, $ab$ 의 값은?

정답 보기

1연속: $1+a=b+2$
2미분계수: $3+2a=b$
3연립하면 $a=-4,\ b=-5$ , 따라서 $ab=20$

영상으로 다시 보기

같은 문제가 유튜브 쇼츠와 인스타그램에도 올라가요. 영상은 짧게, 웹은 자세하게.

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