중학 수학 · 원의 성질 (중3)

같은 호를 보면 각이 이어진다

원주각과 내접사각형, 성질 두 개면 끝

개념원에서 각의 두 성질

① 원주각

한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 $\frac{1}{2}$

\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB

② 원에 내접하는 사각형

마주 보는 두 각의 크기의 합은 $180^\circ$

문제오늘의 한 문제

원 $O$ 에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle ABC=110^\circ$ 일 때, $\angle AOC$ 의 크기는? (단, $\angle AOC<180^\circ$ )

ABCDO110°

힌트 보기

$\angle ABC$ 와 마주 보는 각 $\angle ADC$ 부터 구해 보세요.

풀이마주 보는 각 → 중심각

1내접사각형: $\angle ADC=180^\circ-110^\circ=70^\circ$
2 $\angle ADC$ 는 호 $AC$ (점 $B$ 쪽)에 대한 원주각
3중심각은 원주각의 2배: $\angle AOC=2\times70^\circ=140^\circ$

정답 ④ 140°

개념 다시같은 호 AC를 두 쪽에서 보면

ABCDO140°70°

함정

$2\times110^\circ=220^\circ$ 는 $180^\circ$ 보다 큰 쪽(반대편) 중심각이에요.

기억할 것

원주각 = 중심각 ÷ 2, 내접사각형의 마주 보는 각의 합 = $180^\circ$

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 70°와 140°만 짚었어요. 여기서는 각마다 어느 호를 보는지, 왜 마주 보는 각의 합이 180°인지까지 봅니다.

각마다 보는 호

각	보는 호	그 호의 중심각	각의 크기
$\angle ADC$	호 $AC$ (점 $B$ 쪽, 작은 호)	$140^\circ$	$70^\circ$
$\angle ABC$	호 $AC$ (점 $D$ 쪽, 큰 호)	$220^\circ$	$110^\circ$

원주각은 꼭짓점의 반대쪽에 있는 호를 봐요. 그래서 $B$ 와 $D$ 는 같은 두 점 $A$ , $C$ 를 보지만 서로 다른 호를 보고 있어요.

왜 마주 보는 각의 합이 180°일까

1 $\angle ABC$ 는 큰 호, $\angle ADC$ 는 작은 호를 봐요.
2두 호를 합치면 원 한 바퀴, 중심각으로 $360^\circ$ 예요.
3원주각은 중심각의 절반이므로 $\angle ABC+\angle ADC=360^\circ\div2=180^\circ$

단계별 풀이

1 $\angle ADC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-110^\circ=70^\circ$
2 $\angle AOC$ (180°보다 작은 쪽)는 작은 호 $AC$ 의 중심각이고, 이 호에 대한 원주각이 $\angle ADC$ 예요.
3 $\angle AOC=2\times70^\circ=140^\circ$ , 정답은 ④

검산

큰 호의 중심각은 $360^\circ-140^\circ=220^\circ$ 이고, 그 절반이 $\angle ABC=110^\circ$ 로 맞아요.

자주 하는 실수

220°

$\angle ABC$ 를 바로 2배 하면 큰 호의 중심각(반대편)이 나와요. 문제의 조건 $\angle AOC<180^\circ$ 를 꼭 확인하세요.

110°

중심각과 원주각을 같은 크기로 착각한 경우예요.

70°

$\angle ADC$ 를 구하고 2배 하는 걸 잊은 경우예요. 묻는 건 중심각이에요.

확인 문제

원 $O$ 에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle BAD=2x+10^\circ$ , $\angle BCD=3x-5^\circ$ 일 때, $x$ 와 $\angle BOD$ (180°보다 작은 쪽)의 크기는?

정답 보기

1마주 보는 각의 합: $(2x+10)+(3x-5)=180$ , 곧 $x=35$
2 $\angle BAD=80^\circ$ , $\angle BCD=100^\circ$
3 $\angle BAD$ 는 작은 호 $BD$ 를 보므로 $\angle BOD=2\times80^\circ=160^\circ$

영상으로 다시 보기

같은 문제가 유튜브 쇼츠와 인스타그램에도 올라가요. 영상은 짧게, 웹은 자세하게.

유튜브에서 보기

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