수능 수학 · 수학Ⅰ 삼각함수 (도형) [3점]

세 변만 알면 외접원도 보인다

코사인법칙으로 각, 사인법칙으로 반지름

개념삼각형의 두 법칙

① 코사인법칙

세 변을 알면 각을 구한다

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

② 사인법칙

각과 마주 보는 변을 알면 외접원의 반지름 $R$ 을 구한다

\frac{a}{\sin A}=2R

삼각형 $ABC$ 에서 $\overline{AB}=5$ , $\overline{BC}=7$ , $\overline{CA}=3$ 일 때, 삼각형 $ABC$ 의 외접원의 넓이는? [3점]

537ABC

힌트 보기

가장 긴 변 7과 마주 보는 각 $A$ 부터 구해 보세요.

1코사인법칙: $7^2=5^2+3^2-2\cdot5\cdot3\cos A$ , 곧 $49=34-30\cos A$
2 $\cos A=-\frac{1}{2}$ 이므로 $A=120^\circ$
3사인법칙: $\frac{7}{\sin120^\circ}=2R$ , $\sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로 $R=\frac{7}{\sqrt{3}}$

\pi R^2=\frac{49}{3}\pi

정답 ④ $\frac{49}{3}\pi$

537ABCO120°

함정

$\cos A$ 가 음수로 나와도 계산 실수가 아니에요. $b^2+c^2<a^2$ 이면 둔각이에요.

기억할 것

세 변 → 코사인법칙으로 각, 각과 마주 보는 변 → 사인법칙으로 $R$

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 식만 이어 붙였어요. 여기서는 왜 그 각부터 구하는지, 다른 각으로 풀어도 같은지, 어디서 틀리기 쉬운지까지 봅니다.

어느 각을 써도 답은 같지만, 가장 긴 변 7과 마주 보는 각 $A$ 를 고르면 $\cos A=-\frac{1}{2}$ 처럼 특수각이 나와 계산이 깔끔해요.

1각 $B$ 로 풀면: $\cos B=\frac{5^2+7^2-3^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac{65}{70}=\frac{13}{14}$
2 $\sin B=\sqrt{1-\left(\frac{13}{14}\right)^2}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$
3 $\frac{3}{\sin B}=2R$ 에서 $2R=\frac{14}{\sqrt{3}}$ , 곧 $R=\frac{7}{\sqrt{3}}$ — 같은 답이에요. 다만 계산이 훨씬 길어요.

2R과 R

사인법칙의 우변은 $2R$ 이에요. $R=\frac{14}{\sqrt{3}}$ 로 두면 넓이가 $\frac{196}{3}\pi$ 가 되어 선택지에 없어요.

부호

$\cos A=-\frac{1}{2}$ 를 $60^\circ$ 로 읽는 실수. 이 문제는 $\sin60^\circ=\sin120^\circ$ 라 답이 같지만, 삼각형 넓이나 다른 변을 구하는 문제에서는 틀려요.

넓이 혼동

삼각형의 넓이 $\frac{1}{2}\cdot5\cdot3\cdot\sin120^\circ=\frac{15\sqrt{3}}{4}$ 와 외접원의 넓이를 헷갈리지 마세요.

삼각형 $ABC$ 에서 $\overline{AB}=2$ , $\overline{CA}=3$ , $\angle A=60^\circ$ 일 때, 외접원의 넓이는?

정답 보기

1코사인법칙: $\overline{BC}^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cos60^\circ=7$ , 곧 $\overline{BC}=\sqrt{7}$
2사인법칙: $\frac{\sqrt{7}}{\sin60^\circ}=2R$ 이므로 $R=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$
3넓이: $\pi R^2=\frac{7}{3}\pi$

같은 문제가 유튜브 쇼츠와 인스타그램에도 올라가요. 영상은 짧게, 웹은 자세하게.

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