데이터 분석 입문 선형대수 · LA03 노름과 거리

가깝다는 건 어떻게 잴까?

재는 방법에 따라 가장 가까운 사람이 달라져요

개념길이를 재는 두 가지 방법

벡터의 길이(노름)는 재는 방법이 둘이에요. 곧게 재면 $L_2$ (유클리드), 격자 길을 따라 걸으면 $L_1$ (맨해튼)이에요.

5L2 = 5L1 = 3+4 = 7

|\mathbf{v}|_2=\sqrt{x^2+y^2},\qquad |\mathbf{v}|_1=|x|+|y|

두 점 사이의 거리 = 두 벡터의 차이의 길이 $|A-B|$

문제오늘의 한 문제

영화 두 편에 준 평점을 (영화1, 영화2)로 적었어요. $A=(1,2)$ , $B=(4,6)$ , $C=(6,3)$

ABC

$A$ 에서 가장 가까운 사람은? (가) $L_1$ 거리 (나) $L_2$ 거리

풀이차이 벡터의 길이를 두 가지로

ABC55.1

1차이: $B-A=(3,4)$ , $C-A=(5,1)$
2 $L_1$ : $B$ 는 $3+4=7$ , $C$ 는 $5+1=6$ → $C$ 가 가까움
3 $L_2$ : $B$ 는 $\sqrt{3^2+4^2}=5$ , $C$ 는 $\sqrt{26}\approx5.1$ → $B$ 가 가까움

정답 ② (가) C (나) B

개념 다시재는 법에 따라 이웃이 바뀌어요

같은 데이터라도 $L_1$ 과 $L_2$ 는 가장 가까운 이웃을 다르게 고를 수 있어요.

AL1 = 7L2 = 5

함정

나이(세)와 소득(만원)처럼 단위가 다른 피처를 그대로 거리에 넣으면 숫자가 큰 쪽이 거리를 독차지해요. 그 해법이 스케일링(LA06)이에요.

np.linalg.norm(a - b, ord=1)   # ord=1: L1, 기본: L2

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 그림으로 감을 잡았어요. 여기서는 두 거리를 끝까지 계산하고, 언제 무엇을 쓰는지 정리해요.

두 가지 '가깝다'

이름	식	그림
L1 (맨해튼)	\|dx\| + \|dy\|	격자 길을 따라 걸은 거리
L2 (유클리드)	sqrt(dx^2 + dy^2)	곧게 잰 거리

$L_2$ 거리는 중학교에서 배운 피타고라스 정리 그대로예요. 가로 차이와 세로 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이 두 점 사이의 거리예요.

단계별 풀이 (계산 끝까지)

1차이 벡터: $B-A=(4-1,\ 6-2)=(3,\ 4)$ , $C-A=(6-1,\ 3-2)=(5,\ 1)$
2 $L_1$ : $|3|+|4|=7$ (B), $|5|+|1|=6$ (C) → C가 더 가까워요
3 $L_2$ : $\sqrt{9+16}=5$ (B), $\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\approx5.10$ (C) → B가 더 가까워요
4따라서 (가) C, (나) B → 정답 ②

선택지별 오답 이유

1① B, B: $L_1$ 에서도 B라고 본 경우예요. $L_1$ 은 6 대 7로 C가 가까워요.
2③ B, C: (가)와 (나)를 서로 바꿨어요.
3④ C, C: $L_2$ 에서도 C라고 본 경우예요. 5와 5.10은 근소하지만 B가 작아요.
4⑤ 같다: 두 거리의 이웃이 달라지는 것이 이 문제의 핵심이에요.

자주 하는 실수

단위가 다른 피처

나이(세)와 연소득(만원)을 그대로 $L_2$ 거리에 넣으면 소득 차이가 거리를 거의 다 결정해요. 거리 기반 모델(KNN, 군집)은 먼저 스케일링이 필요해요. (LA06에서 다뤄요)

파이썬으로 확인

import numpy as np

A, B, C = np.array([1, 2]), np.array([4, 6]), np.array([6, 3])

for name, P in (('B', B), ('C', C)):
    d1 = np.linalg.norm(P - A, ord=1)
    d2 = np.linalg.norm(P - A)
    print(name, d1, round(d2, 2))

# 실행 결과
# B 7.0 5.0
# C 6.0 5.1

확인 문제

$A=(1,2)$ 와 $E=(2,6)$ 사이의 $L_1$ 거리와 $L_2$ 거리는?

정답 보기

1차이 $E-A=(1,\ 4)$
2 $L_1=1+4=5$
3 $L_2=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\approx4.12$

영상으로 다시 보기

같은 문제가 유튜브 쇼츠와 인스타그램에도 올라가요. 영상은 짧게, 웹은 자세하게.

유튜브에서 보기

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