수능 수학 · 수학Ⅱ 미분 (접선·극값) [3점]

극값 조건이 삼차함수를 정한다

미지수 세 개, 조건 세 개

개념극값과 접선

① 극값

$f'(a)=0$ 이고 $x=a$ 의 앞뒤에서 $f'$ 의 부호가 바뀌면 $x=a$ 에서 극값을 가져요.

f'(a)=0

② 접선

점 $(t,\ f(t))$ 에서의 접선의 방정식

y-f(t)=f'(t)(x-t)

삼차함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 가 $x=-1$ 에서 극댓값 $12$ 를 갖고, $x=3$ 에서 극소이다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(2,\ f(2))$ 에서의 접선의 $y$ 절편은? [3점]

xyy=f(x)(-1, 12) 극대x=3 극소

힌트 보기

$f'(-1)=0,\ f'(3)=0,\ f(-1)=12$ 세 식으로 $a,\ b,\ c$ 를 구해요.

y=-9x+3,\quad x=0\ \Rightarrow\ y=3

정답 ③ 3

xyy=f(x)접선(2, -15)(0, 3)

함정

$f(2)=-15$ 를 절편으로 쓰거나, 기울기 $-9$ 를 절편으로 착각하기 쉬워요.

기억할 것

$f'(a)=0$ 은 극값의 필요조건. 값 조건 하나가 더 있어야 $c$ 까지 정해져요.

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 세 식을 풀고 접선을 세웠어요. 여기서는 극대·극소를 이계도함수로 확인하는 법, 접선 공식의 뜻, 오답 보기의 출처를 봅니다.

$f''(x)=6x-6$ 이므로 $f''(-1)=-12<0$ → $x=-1$ 에서 극대, $f''(3)=12>0$ → $x=3$ 에서 극소예요. 문제의 조건('극댓값', '극소')과 일치해요.

극솟값은 $f(3)=27-27-27+7=-20$ 이에요. 극댓값 $12$ 와의 차는 $32$ 로, 이 차는 $c$ 와 상관없이 정해져요. 그래서 값 조건 하나가 꼭 필요해요.

-15

접선이 지나는 점의 $y$ 좌표 $f(2)=-15$ 를 절편으로 쓴 경우예요.

-9

접선의 기울기 $f'(2)=-9$ 를 절편으로 쓴 경우예요.

$c=f(0)=7$ 을 그대로 쓴 경우예요. $f$ 의 $y$ 절편과 접선의 $y$ 절편은 달라요.

극댓값을 답으로 쓴 경우예요.

삼차함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ 가 $x=1$ 에서 극댓값 $4$ 를 가질 때, $f(4)$ 의 값은?

정답 보기

정답 4

같은 문제가 유튜브 쇼츠와 인스타그램에도 올라가요. 영상은 짧게, 웹은 자세하게.

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