데이터 분석 입문 선형대수 · LA04 내적

내적의 부호만 봐도 무엇을 알 수 있을까?

같은 편, 직각, 반대편을 한 번에 가려내요

개념내적 = 곱해서 더하기

두 벡터의 내적은 같은 자리끼리 곱해서 더한 값이에요. 이 값의 부호가 두 화살표 사이의 각을 알려줘요.

uwθ

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta

내적 > 0: 예각 (같은 편) / = 0: 직각 / < 0: 둔각 (반대편)

문제오늘의 한 문제

사용자의 취향이 $u=(3,1)$ (액션, 로맨스)이고, 영화 $a=(1,2)$ , $b=(1,-3)$ , $c=(-2,-1)$ 이 있어요.

uabc

(가) $u$ 와 같은 쪽, (나) $u$ 와 직각, (다) $u$ 의 반대쪽에 있는 영화를 차례로 나열한 것은?

풀이내적을 계산해서 부호를 본다

ub90°ac

1 $u\cdot a=3\times1+1\times2=5>0$ → 같은 편
2 $u\cdot b=3\times1+1\times(-3)=0$ → 직각
3 $u\cdot c=3\times(-2)+1\times(-1)=-7<0$ → 반대편

정답 ⑤ (가) a (나) b (다) c

개념 다시내적 0은 '작다'가 아니라 '직각'

내적이 0인 벡터들은 $u$ 에 수직인 직선 위에 놓여요. 이 직선의 한쪽은 같은 편, 반대쪽은 반대편이에요.

u내적 = 0내적 > 0내적 < 0

주의

내적 0은 '직각'이에요. 작은 내적은 아직 같은 편(예각)이에요. 길이가 길면 내적도 커지니, 방향만 보려면 길이로 나눈 코사인을 써요.

a @ b   # numpy 내적

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 그림으로 감을 잡았어요. 여기서는 내적을 계산해 부호로 읽는 법과, 내적이 0일 때의 뜻을 정리해요.

내적의 두 얼굴

식	뜻	예
a1 b1 + a2 b2	같은 자리끼리 곱해서 더하기	(3,1)·(1,2) = 5
\|a\|\|b\| cos θ	길이와 사잇각	부호는 cos θ가 정해요

고등학교 '기하' 과목에서 배우는 평면벡터의 내적과 같아요. 선형대수에서는 성분이 2개에서 수백 개로 늘어도 똑같이 곱해서 더해요.

단계별 풀이 (계산 끝까지)

1 $u\cdot a=3\times1+1\times2=5$ → 양수 → (가)
2 $u\cdot b=3\times1+1\times(-3)=0$ → 0 → (나)
3 $u\cdot c=3\times(-2)+1\times(-1)=-7$ → 음수 → (다)
4따라서 (가) a, (나) b, (다) c → 정답 ⑤

선택지별 오답 이유

1① b, a, c: 직각인 b를 '같은 쪽'으로, 같은 편인 a를 '직각'으로 봤어요.
2② a, c, b: (나)와 (다)를 바꿨어요. 내적 $-7$ 은 직각이 아니라 반대편이에요.
3③ c, b, a: (가)와 (다)를 바꿔서, 반대편 영화를 같은 편으로 골랐어요.
4④ b, c, a: 세 자리를 모두 어긋나게 배열한 경우예요.

자주 하는 실수

내적 0 ≠ 작다

내적 0은 직각, 곧 두 벡터가 서로의 방향으로 전혀 뻗지 않는다는 뜻이에요. 작은 양수는 '조금 같은 편'이고요. 평균을 뺀 두 피처 벡터의 내적이 0이면 두 피처의 상관이 0이에요.

파이썬으로 확인

import numpy as np

u = np.array([3, 1])
for name, v in (('a', [1, 2]), ('b', [1, -3]), ('c', [-2, -1])):
    print(name, u @ np.array(v))

# 실행 결과
# a 5
# b 0
# c -7

확인 문제

$u=(3,1)$ 과 직각인 벡터를 하나 더 만들어 보세요.

정답 보기

1 $(-1,\ 3)$ 이면 $3\times(-1)+1\times3=0$ 이에요.
2 $b=(1,-3)$ 에 $-1$ 을 곱한 벡터예요. $(2,\ -6)$ 처럼 $u$ 와 내적이 $0$ 인 벡터는 모두 정답이에요.

영상으로 다시 보기

같은 문제가 유튜브 쇼츠와 인스타그램에도 올라가요. 영상은 짧게, 웹은 자세하게.

유튜브에서 보기

같은 유형에서 자꾸 막히나요?

그 유형을 잘 아는 과외 선생님을 연결해 드립니다. 상담은 무료예요.

과외 상담 신청