수능 수학 · 수학Ⅱ 정적분 (넓이) [4점]

넓이가 8분의 1이면 길이의 비는?

세제곱 공식 하나로 끝

개념곡선과 직선 사이의 넓이

① 두 곡선 사이의 넓이

교점의 $x$ 좌표 $\alpha,\ \beta$ 에서 위쪽 $f$ , 아래쪽 $g$

S=\int_{\alpha}^{\beta}\{f(x)-g(x)\}\,dx

② 이차함수와 직선

교점이 $\alpha,\beta$ 이고 $f(x)-g(x)$ 의 최고차항의 계수가 $a$ 이면

S=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3

곡선 $y=-x^2+4x$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$ , 곡선과 직선 $y=mx$ $(0<m<4)$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$ 라 하자. $S_2=\frac{1}{8}S_1$ 일 때, $m$ 의 값은? [4점]

y=-x²+4xy=mx

S_2

S_1

힌트 보기

직선과 곡선의 교점의 $x$ 좌표는 $0$ 과 $4-m$ 이에요.

4-m=2\ \Rightarrow\ m=2

정답 ③ 2

y=-x²+4xy=2x(2, 4)

S_2=\frac{4}{3}

S_1=\frac{32}{3}

함정

넓이의 비 $\frac{1}{8}$ 을 길이의 비로 착각하면 $4-m=\frac{1}{2}$ , 곧 $m=\frac{7}{2}$ 이 나와요. 넓이는 길이의 세제곱에 비례해요.

기억할 것

$S=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ → 길이 비가 $k$ 이면 넓이 비는 $k^3$ .

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 공식으로 바로 풀었어요. 여기서는 공식이 왜 세제곱인지, 오답 보기가 어떤 비에서 나오는지, 직접 적분한 결과를 봅니다.

1 $f(x)-g(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 꼴이라 두 근 사이에서 부호가 일정해요.
2 $\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$ 을 계산할 수 있어요.
3그래서 $S=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ . 구간의 길이가 $k$ 배가 되면 넓이는 $k^3$ 배가 돼요.

$m=2$ 이면 교점은 $x=0,\ 2$ 이에요. $S_2=\int_0^2(-x^2+4x-2x)\,dx=\int_0^2(-x^2+2x)\,dx=-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3}$ .

$S_1=\frac{32}{3}$ 이므로 $\frac{S_2}{S_1}=\frac{4/3}{32/3}=\frac{1}{8}$ 으로 조건을 만족해요.

$\frac{7}{2}$

넓이의 비 $\frac{1}{8}$ 을 길이의 비 $\frac{4-m}{4}$ 에 그대로 넣은 경우예요 ( $4-m=\frac{1}{2}$ ).

$m=3$ 을 넣으면 $4-m=1$ 이라, 넓이의 비가 $\frac{1}{64}$ 이 되어 $\frac{1}{8}$ 이 아니에요.

1, $\frac{3}{2}$

교점의 $x$ 좌표가 각각 $3,\ \frac{5}{2}$ 가 되는 값이에요. 이때 넓이 비는 $\frac{27}{64},\ \frac{125}{512}$ 로 $\frac{1}{8}$ 이 아니에요.

곡선 $y=x^2-2x$ 와 직선 $y=x$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는?

정답 보기

정답 9/2

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