중학 수학 · 이차방정식 (중3)

인수분해가 안 될 땐 근의 공식

x²+2x-2=0, 근이 √를 품고 있어요

개념근의 공식은 어디서 왔을까

근의 공식

$ax^2+bx+c=0$ ( $a\neq0$ )의 해는

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

세로가 $x$ cm, 가로가 세로보다 2 cm 더 긴 직사각형의 넓이가 2 cm²일 때, $x$ 의 값은?

xx+2넓이 2 cm²

힌트 보기

$x(x+2)=2$ 를 $ax^2+bx+c=0$ 꼴로 정리하세요. 길이는 양수예요.

1넓이: $x(x+2)=2$ , 정리하면 $x^2+2x-2=0$
2 $a=1,\ b=2,\ c=-2$ 를 대입: $x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}$
3 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 이므로 $x=-1\pm\sqrt{3}$
4길이는 양수: $x=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$

정답 ③ √3-1

x1x2x=-1±√3

함정

음수인 근 $-1-\sqrt{3}$ 도 방정식은 만족해요. 하지만 길이는 양수여야 해요.

기억할 것

$b$ 가 짝수( $b=2b'$ )이면 $x=\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}$ 로 더 쉬워요.

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 식 세우기와 근의 공식만 짚었어요. 여기서는 판별식으로 근의 개수를 먼저 확인하고, 선택지마다 왜 틀렸는지까지 봅니다.

근의 공식의 루트 안 $D=b^2-4ac$ 를 판별식이라고 해요. 이 값으로 근의 개수를 먼저 알 수 있어요.

이 문제는 $D=12>0$ 이고 12는 제곱수가 아니라서 정수로 인수분해되지 않아요. 그때가 근의 공식을 꺼낼 때예요.

검산

$x=\sqrt{3}-1$ 이면 가로는 $x+2=\sqrt{3}+1$ . 넓이는 $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2$ 로 맞아요.

선택지	이유
$1-\sqrt{3}$	$-b$ 의 부호를 잘못 써서 $x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt{3}$ 로 푼 경우예요.
$\sqrt{3}-2$	$\frac{-2+2\sqrt{3}}{2}$ 에서 $\sqrt{12}$ 만 2로 나눈 경우예요.
$\sqrt{3}$	$-1$ (= $-b$ 를 $2a$ 로 나눈 값)을 빠뜨린 경우예요.
$\sqrt{3}+1$	가로의 길이 $x+2$ 예요. 묻는 건 세로 $x$ 예요.

$-b$

$b=2$ 이면 $-b=-2$ 예요. 부호를 놓치기 쉬워요.

분모

분모는 $2a$ 전체예요. 루트 부분에만 나누지 마세요.

양수 확인

길이·넓이 문제는 근을 구한 뒤 양수만 남겨요.

이차방정식 $x^2-6x+4=0$ 의 해를 구하세요.

정답 보기

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