수능 수학 · 수학Ⅰ 수열 (등차·등비·시그마) [3점]

공비가 1이면 왜 안 될까?

등차와 등비가 두 번 만나는 문제

개념등차·등비 한눈에

① 등차수열

이웃한 항의 차가 일정한 수열 (공차 $d$ )

a_n=a_1+(n-1)d,\quad \sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

② 등비수열

이웃한 항의 비가 일정한 수열 (공비 $r$ )

b_n=b_1r^{n-1},\quad \sum_{k=1}^{n}b_k=\frac{b_1(r^n-1)}{r-1}\ (r\neq1)

첫째항이 $2$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 첫째항이 $2$ 이고 공비가 $1$ 이 아닌 등비수열 $\{b_n\}$ 이 $a_2=b_2,\ a_4=b_3$ 을 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{6}(a_k+b_k)$ 의 값은? [3점]

힌트 보기

공차 $d$ 와 공비 $r$ 로 두 식을 세워 보세요.

\sum_{k=1}^{6}2k+\sum_{k=1}^{6}2^k=42+126=168

정답 ④ 168

함정

$r=1$ 도 연립식의 해예요. 하지만 이때 $d=0$ 이라 두 수열 모두 모든 항이 $2$ 이고, 합은 $24$ 가 돼요. 조건 '공비가 $1$ 이 아닌'은 이 근을 버리라는 뜻이에요.

기억할 것

항 사이의 관계 → 미지수 $d,\ r$ → 연립해서 이차방정식 → 조건으로 근 고르기

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 식을 이어 붙였어요. 여기서는 연립식에서 이차방정식이 나오는 과정, 합 공식을 쓰는 순서, 오답 보기가 어디서 나오는지를 봅니다.

두 식에서 $d$ 를 없애면 $r$ 에 대한 이차방정식이 나와요. 근이 둘이면 조건(공비 $\neq 1$ )으로 하나를 골라야 해요.

$a_n=2n$ , $b_n=2^n$ 이므로 $a_k+b_k$ 는 $k=1,2,\dots,6$ 에서 차례로 $4,\ 8,\ 14,\ 24,\ 42,\ 76$ 이에요.

모두 더하면 $4+8+14+24+42+76=168$ 으로 합 공식의 결과와 같아요. 조건도 확인해요: $a_2=4=b_2$ , $a_4=8=b_3$ .

126

등차수열 부분의 합 $42$ 를 빠뜨리고 등비수열의 합 $126$ 만 답으로 쓴 경우예요.

105

등비수열의 합에서 첫째항 $2$ 를 곱하지 않고 $2^6-1=63$ 만 쓴 경우 $42+63=105$ 예요.

147

$a_n=n$ 으로 착각해 등차 부분을 $21$ 로 계산한 경우 $21+126=147$ 이에요.

182

등차 부분을 $7$ 항까지 더해( $56$ ) 등비 부분 $126$ 과 합한 경우예요.

첫째항이 $1$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 첫째항이 $1$ 이고 공비가 $1$ 이 아닌 등비수열 $\{b_n\}$ 이 $a_2=b_2,\ a_4=b_3$ 을 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{5}b_k$ 의 값은?

정답 보기

정답 31

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