수능 수학 · 수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 [4점]

지수와 로그는 서로의 거울

y=x에 대한 대칭 하나로 끝나는 문제

개념역함수는 y=x 대칭

① 역함수 관계

$y=a^x$ 와 $y=\log_a x$ 는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이에요.

(p,\ q)\in\{y=a^x\}\ \Longrightarrow\ (q,\ p)\in\{y=\log_a x\}

② 대칭인 두 점

$A(p,q),\ B(q,p)$ 를 잇는 직선의 기울기는 $-1$ 이에요.

\overline{AB}=\sqrt{2}\,|p-q|

곡선 $y=2^x$ 위의 점 $A$ 와 곡선 $y=\log_2 x$ 위의 점 $B$ 가 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이다. 선분 $AB$ 의 길이가 $5\sqrt{2}$ 이고 점 $A$ 의 $x$ 좌표가 자연수일 때, 직선 $AB$ 의 $y$ 절편은? [4점]

y=2^xy=log2 xy=x

5\sqrt{2}

힌트 보기

$A(p,\ 2^p)$ 이면 $B$ 의 좌표는?

k=11

정답 ④ 11

y=2^xy=log2 xy=xA(3, 8)B(8, 3)(0, 11)

함정

$A$ 의 $y$ 좌표 $8$ 을 답으로 쓰거나, 기울기를 $+1$ 로 착각해 $y=x+5$ 의 절편 $5$ 를 고르기 쉬워요.

기억할 것

지수·로그가 함께 나오면 먼저 $y=x$ 대칭을 떠올려요.

웹에서만 · 자세한 해설

영상에서는 대칭 하나로 풀었어요. 여기서는 B의 좌표가 왜 (2^p, p)인지, p가 왜 하나로 정해지는지, 오답 보기의 출처를 봅니다.

$h(p)=2^p-p$ 는 $p\ge1$ 에서 증가해요: $h(1)=1,\ h(2)=2,\ h(3)=5,\ h(4)=12$ . 그래서 $h(p)=5$ 를 만족시키는 자연수는 $p=3$ 하나뿐이에요.

$p$ 가 자연수라는 조건이 없으면 $2^p-p=5$ 의 다른 해(음수)가 하나 더 있어 답이 둘이 돼요. 문제의 조건이 하는 일이에요.

기울기를 $+1$ 로 착각해 $A(3,8)$ 을 지나는 $y=x+5$ 의 절편을 쓴 경우예요.

$p=2$ 인 경우 $A(2,4),\ B(4,2)$ → $2+4=6$ . $\overline{AB}=2\sqrt{2}$ 라 조건에 맞지 않아요.

$A$ 의 $y$ 좌표 $2^3=8$ 을 절편으로 착각한 경우예요.

$p=4$ 인 경우 $4+16=20$ . 이때 $\overline{AB}=12\sqrt{2}$ 라 조건에 맞지 않아요.

곡선 $y=3^x$ 위의 점 $A$ 와 곡선 $y=\log_3 x$ 위의 점 $B$ 가 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이다. 선분 $AB$ 의 길이가 $24\sqrt{2}$ 이고 점 $A$ 의 $x$ 좌표가 자연수일 때, 직선 $AB$ 의 $y$ 절편은?

정답 보기

정답 30

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